Perhitungan Jarak di Permukaan Bumi

Pendahuluan

Suatu hal yang terlampau jauh diluar jangkauan manusia adalah perbincangan tentang jarak. Misalnya jarak matahari ke bumi,hal itu tidak bisa dibandingkan dengan jarak Jakarta ke Surabaya. Mungkin dengan tekhnologi mutakhir, kita tidak akan pernah sampai ke matahari. Sejauh ini kita kan baru bisa ke bulan, itupun sudah lama tidak dilakukan. Apalagi untuk mengetahui permukaan jarak permukaan bumi, suatu hal yang begitu jauh untuk sekedar diprediksi.

Makalah ini secara spesifik penulis akan menjelaskan beberapa aspek tentang jarak (distance) di permukaan bumi. Dua hal yang menjadi dasar pembahasan adalah jarak dari permukaan bumi ke pusat bumi, serta jarak antara dua tempat di permukaan bumi.

Pengetahuan tentang jarak dari permukaan bumi ke pusat bumi ada hubungannya dengan transformasi dari koordinat geosentrik ke toposentrik. Transformasi dari geosentrik ke toposentrik sangat penting dalam menghitung posisi benda langit, seperti hilal, matahari, planet dan lain-lain dengan ketelitian tinggi. Sementara itu, jarak antara dua tempat akan berguna, misalnya ketika kita ingin menentukan jarak antara suatu tempat dengan Ka’bah.

Berdasarkan abstraksi diatas, maka pokok masalah dalam makalah ini tertumpu pada pembahasan jarak permukaan bumi. Perkembangan ilmu astronomi yang sedemikaian kompleks pada era kekiniaan, mungkin dengan cata yang sangat mudah untuk mengetahui pelabagai jaraka antara satu benda dengan yang lainnya. Pokok masalah tersebut kami rinci dalam beberapa sub masalah sebagai berikut :

a. Apa sebenarnya arti dari pada jarak itu sendiri?

b. Bagaimanana cara mengetahui jarak permukaan bumi?

c. Bagaimanana cara mengetahui Jarak Dua Tempat di Permukaan Bumi ?

PEMBAHASAN

A. Jarak di Permukaan Bumi

Jarak adalah angka yang menunjukkan seberapa jauh suatu benda berubah posisi melalui suatu lintasan tertentu. Dalam fisika atau dalam pengertian sehari-hari, jarak dapat berupa estimasi jarak fisik dari dua buah posisi berdasarkan kriteria tertentu (misalnya jarak tempuh antara Jakarta-Bandung). Dalam bidang matematika, jarak haruslah memenuhi kriteria tertentu.

Berbeda dengan koordinat posisi, jarak tidak mungkin bernilai negatif. Jarak merupakan besaran skalar, sedangkan perpindahan merupakan besaran vektor. Jarak yang ditempuh oleh kendaraan (biasanya ditunjukkan dalam spidometer), orang atau obyek, haruslah dibedakan dengan jarak antara titik satu dengan lainnya.

Dalam fisika, jarak adalah panjang lintasan yang ditempuh oleh suatu obyek yang bergerak, mulai dari posisi awal dan selesai pada posisi akhir. Konsep ini seringkali dipertukarkan dengan konsep perpindahan. Perpindahan adalah selisih dua buah vektor posisi, umumnya posisi akhir dan posisi awal. Konsep ini seringkali dipertukarkan dengan konsep jarak[1].

Kita sering menyatakan bahwa bumi berbentuk bola. Dalam banyak hal, ungkapan ini memang ada benarnya, terutama untuk mempermudah pemahaman tentang posisi di bumi. Namun sebenarnya pernyataan ini tidak seluruhnya benar, sebab bumi lebih tepat disebut berbentuk elipsoida, mirip seperti telur (dengan mengabaikan gunung, lembah dan sebagainya). Jari-jari bola selalu konstan di semua permukaan bola.

Setiap tempat di permukaan bumi dapat ditentukan dengan dua koordinat, yaitu bujur B (longitude) dan lintang L (latitude). Satuan koordinatnya adalah derajat. Satu derajat = 60 menit busur (arcminute) = 3600 detik busur (arcsecond). Seringkali menit busur dan detik busur cukup disebut menit dan detik saja. Namun demikian harap dibedakan dengan menit dan detik sebagai satuan waktu.

Konsep Jarak (1)

- Jari-jari bumi atau lebih tepatnya jarak dari permukaan bumi tidak sama di semua tempat.

- Jarak dari permukaan ke pusat bumi mencapai nilai maksimum di ekuator (garis khatulistiwa) dan minimum di kutub, walaupun selisih antara maksimum dan minimum cukup kecil dibandingkan dengan jari-jari bumi.

Konsep Jarak (2)

- Garis bujur = 0 melewati kota Greenwich di London, Inggris.

- Sebelah timur Greenwich disebut bujur timur dan di sebelah barat Greenwich disebut bujur barat.

- Sesuai dengan kesepakatan umum, bujur timur bernilai positif dan bujur barat bernilai negatif.[2]

- Karena satu kali rotasi bumi = 24 jam, maka perbedaan waktu 1 jam berkonotasi dengan selisih bujur 15 derajat.

Konsep Jarak (3)

- Garis bujur 180 derajat terletak di Samudra Pasifik yang sekaligus merupakan garis batas tanggal internasional.

- Jika tepat di sebelah kiri (sebelah barat) garis tersebut hari Jumat siang, maka di sebelah kanannya (sebelah timurnya) masih hari Kamis siang.

- Garis lintang = 0 sama dengan garis khatulistiwa (ekuator) yang membelah bumi menjadi dua bagian utara dan selatan.[3]

- Di belahan bumi utara (lintang utara), lintang bernilai positif. Sebaliknya di bumi selatan (lintang selatan), lintang bernilai negatif.

Contoh: 15 derajat LU (Lintang Utara) = 15 N (North) = 15 derajat. Sedangkan 30 derajat LS (Lintang Selatan) = 30 S (South) = -30 derajat. Kutub Utara (South Pole) = 90 N = 90, sedangkan Kutub Selatan (South Pole) = 90 S = -90. Jadi seluruh lintang permukaan bumi antara -90 hingga 90 derajat.[4]

Seluruh bujur permukaan bumi dibagi ke dalam 360 derajat, yaitu dari -180 derajat hingga 180 derajat.

Geoid

Geoid adalah salah satu bidang ekuipotensil gaya berat yang berimpit dengan permukaan air laut rata-rata diseluruh bumi (Vanicek and Krakiwsky, 1982)

Ellipsoid

Sebagaimana telah dijelaskan diatas, untuk keperluan hitungan Geodesi iperlukan suatu bidang analitis yang mempunyai bentuk dan ukuran mendekati geoid. Bidang yang teratur, yang bentuk dan ukuanya mendekati geoid adalah bidang ellipsoid.

Penentuan Ellipsoid

Metode-metode yang digunakan untuk menentukan bentuk dan ukuran dari ellipsoid adalah sebagai berikut :

- Pengukuran busur di muka bumi (metode Astro Geodesi

- Pengukuran Variasi gravitasi dimuka bumi (metode Astrogravimetrik)

- Pengukuran medan gravitasi bumi dari orbit satelit buatan[5]

Sistem Koordinat

- Sistem koordinat lokal

- Sistem Koordinat Polar

- Sistem Koordinat Kartesian

- Sistem Koordinat Global

- Sistem Koordinat Astronomis (Lintang Astronomis dan Bujur Astronomis) bidang terhadap Geoid

- Sistem Koordinat Geodetik (Lintang geodetic dan Bujur Geodetik) bidang terhadap ellipsoid

- Sistem Koordinat Kartesian Tiga Dimensi

Gambar Sistem Koordinat Geodetik

- Lintang Geodetik (L) dari suatu titik adalah besar sudut lancip yang dibentuk oleh arah normal pada ellipsoid dengan bidang ekuator geodetic

- Bujur geodetic (B) yaitu sudut yang dibentuk antara bidang meridian dari titik tersebut dengan bidang meridian nol BIH

- Titik geodetik atau geometrik (h) didefinisikan sebagai jarak dari bidang ellipsoid kea rah normal sampai titik tinggi yang di maksud.

Sistem Koordinat Kartesian Tiga Dimensi.

- Posisidari suatu titik dinyatakan dalam besaran X,Y dan Z. dengan arah arah dari sumbu-sumbu koordinat didefinisikan sebagai berikut

- Sumbu Z berimpit dengan sumbu rotasi bumi, yang didefinisikan sebagai CTP (Conventional Terrestrial Pole)

- Sumbu X mengarah ke meridian nol, yaitu meridian nol Greenwich yang ditetapkan oleh BIH (Bureau International de l’Heure) yang terletak pada bidang ekuator ellipsoid.

- Sumbu Y adalah sumbu yang terletak pada bidang ekuator serta tegak lurus terhadap sumbu X dan Z berdasarkan aturan tangan kanan

Datum Geodetik

- Datum Geodetik adalah titik asal dari sistem perhitungan dan permukaan tempat dilakukannya perhitungan-perhitungan

- Datum geodetik adalah himpunan parameter parameter yang menggambarkan hubungan antara ellipsoid local dan sistem refrensi geodetik global.

Pendefinisian Datum Konvensional

- Ditetapkan parameter ellipsoid refrensi yang dipilih yaitu setengah sumbu panjang

- Wllipsoid refrensi menyinggung geoid pada satu titik yang telah ditentukan (titik datum)

- Pada titik datum, didefinisikan bahwa lintang geodetik (L), bujur geodetik (B) dan Azhimuth geodetik (A) sama lintang astronomi, bujur astronomi san azimuth astronomi serta tinggi suatu geometric yaitu tinggi titik diatas ellipsoid (h), sama dengan tinggi di atas geoid (H) atau dengan perkataan lain undulasi (N) pada titik datum sama dengan nol.

- Sumbu putar ellipsoid dan bidang meridian nol geodetik sejajar sumbu menengah bumi dan bidang nol astronomi.

Pendefinisian Datum Modern

- Parameter dari ellipsoid refrensi yang dipilih, yaitu setengah sumbu panjang (a) dan pegepengan

- Parameter translasi (ΔX, ΔY, ΔZ) titik asal salib sumbu X,Y dan Z terhadap geocenter (pusat massa bumi) atau titik asal satu CTS (conventional Terrestrial System) tertentu

- Parameter rotasi (Ex,Ey,Ez) sistem salib sumbu X,Y dan Z terhadap CT

- Faktor skala

Datum yang digunakan di Indonesia adalah Datum Genuk. [6]

Bidang hitungan yang digunakan adalah permukaan ellipsoid Bessel 1841 yang mempunyai dimensi sebagai berikut. Setengah sumbu panjang (a) = 6377397.155 m
Pergepengan (f) = 1/299.15. Datum Moncong Lowe. Datum Gunung Serindu. Datum Indonesia 1974 (DI’74). Speroid / ellipsoid yang diadopsi ialah SNI (Speroid Nasional Indonesia), yaitu suatu modifikasi (pembulatan parameter) ellipsoid GRS’67 (Geodetic Reference System 1967). Parameter parameter ellipsoid SNI ialah : Setengah sumbu panjang (a) = 6378160.000 m Pegepengan (f) = 1/298.247.

Datum Indonesia 1995 (DI’95) = WGS’84. Parameter parameter dari datum Indonesia 1995 ini sama dengan parameter parameter datum WGS 84, yang mirip parameter GRS 80 (Geodetic Reference System 1980), yaitu sistem referensi Geodesi yang diperkenalkan oleh international Association of Geodesy (IAG) pada tahun 1979. Adapun parameter parameter yang diakai untuk pendefinisian dari datum DI95 adalah Subaraya dan Matindas :

a. Setengah sumbu panjang (a) = 638137.000

b. Setengah sumbu pendek (b) = 6356752.3142 m
Pegepengan (f) = 1/298.257223563

Proyeksi Peta

Proyeksi peta adalah teknik teknik yang digunakan untuk menggambarkan sebagian atau keseluruhan permukaan tiga dimensi yang secara kasaran berbentuk bola ke permukaan datar dua dimensi dengan distorsi sesedikit mungkin. Dalam proyeksi peta diupayakan sistem yang memberikan hubungan antara posisi titik titik di muka bumi dan di peta.

Sistem proyeksi peta dipilih untuk menyatakan posisi titik titik pada permukaan bumi ke dalam sistem koordinat bidang datar yang nantinya bias digunakan untuk perhitungan jarak dan arah antar titik. Menyajikan secara grafis titik titik pada permukaan bumi ke dalam sistem koordinat bidang datar yang selanjutnya bias digunakan untuk membantu studi dan pengambilan keputusan berkaitan dengan topografi, iklim, vegetasi, hunian dan lain-lainya yang umumnya berkaitan dengan ruang yang luas.

Pertimbangan Ekstrinsik

Bidang Proyeksi yang digunakan, antara lain :

- Proyeksi Azimutal / zenital : bidang proyeksi bidang data

- Proyeksi kerucut : bidang proyeksi bidang selimut kerucut

- Proyeksi silinder : bidang proyeksi bidang selimut silinder

- Persinggungan bidang proyeksi dengan pola bum

- Proyeksi tangent : bidang proyeksi bersinggungan dengan pola bumi

- Proyeksi Secant : bidang proyeksi berpotongan dengan pola bumi

- Proyeksi “Polysuperficial” : banyak bidang proyeksi

Posisi sumbu simetri bidang proyeksi terhadap sumbu bumi

Proyeksi normal : Sumbu simetri bidang proyeksi berimpit dengan sumbu pola bumi
Proyeksi miring : Sumbu simetri bidang proyeksi miring terhadap sumbu pola bumi
Proyeksi transversal : Sumbu simeri bidang proyeksi terhadap sumbu pola bumi

Pertimbangan Instrinsik

Sifat asli yang dipertahankan :

- Proyeksi Ekuivalen : Luas daerah yang pertahankan : Luas pada peta setelah disesuaikan dengan skala peta = luas asli pada muka bumi
Proyeksi Konfrom : Bentuk daerah dipertahankan, sehingga sudut sudut pada peta dipertahankan sama dengan sudut sudut dimuka bumi.

- Proyeksi Ekuidistan : Jarak antar titik di peta setelah disesuaikan dengan skala peta sama dengan jarak asli di muka bumi

Cara penurunan peta

- Proyeksi geometris : Proyeksi perspektif atau proyeksi sentral.

- Proyeksi Matematis : Semua di peroleh dengan hitungan matemati

- Proyeksi Semi Geometris : Sebagian peta diperoleh dengan cara proyeksi dan sebagian lainya diperoleh dengan cara matematis.[7]

B. Jarak dari permukaan bumi ke pusat bumi

Bumi bukanlah berbentuk bola sempurna, melainkan elipsoida. Karena itu garis keliling bumi yang beririsan dengan garis khatulistiwa (lintang geografis = 0) tidak sama dengan garis keliling bumi yang melewati kutub utara dan kutub selatan. Jarak pusat bumi ke ekuator sedikit lebih besar daripada jarak pusat bumi ke kutub.

Jarak pusat bumi ke ekuator = a = 6.378.137,0 meter Jarak pusat bumi ke kutub = b = 6.356.752,314 meter Antara a dan b terdapat hubungan, yaitu b = a*(1 - f) dimana nilai f = 1/298,25722. Eksentrisitas bumi = e = 0,08181919133. (Jika bumi adalah bola sempurna, maka nilai e dan f sama dengan 0)

Gambar 1. Penampang lintang bumi. O adalah pusat bumi. OE = jarak pusat bumi ke ekuator. OK = jarak pusat bumi ke kutub.

Angka jari-jari di atas merujuk pada model WGS-84. Selanjutnya akan dihitung jarak antara pusat bumi seorang pengamat yang berada pada ketinggian H dari permukaan laut (bersatuan meter). Di permukaan bumi, pengamat tersebut terletak pada lintang geografis L. Perlu diketahui, ada pula yang disebut lintang geosentrik L’ (yaitu sudut antara garis pusat bumi-lokasi dengan garis pusat bumi-khatuslistiwa). Antara lintang geografis L (yang biasa digunakan) dengan lintang geosentrik L’ terdapat sedikit perbedaan nilai.[8]

Rumus-rumus yang digunakan adalah sebagai berikut : tan(u) = (b/a)*tan(L) R*sin(L’) = (b/a)*sin(u) + (H/6378137)*sin(L) R*cos(L’) = cos(u) + (H/6378137) cos(L). [9]

Nilai Rsin (L’) positif di belahan bumi utara (L > 0), dan negatif di belahan bumi selatan (L < 0). Jarak antara pengamat tersebut dengan pusat bumi adalah R = SQRT(R*sin(L’)* R*sin(L’) + R*cos(L’)* R*cos(L’)) Sedangkan Lintang geosentrik L’ adalah Tan(L’) = (Rsin(L’))/( Rcos(L’))

Suatu Contoh: Seorang pengamat berada di Monas (ketinggian 120 m) yang terletak di lintang 6:10:31,45 LS. Tentukan jarak pengamat tersebut ke pusat bumi.

Maka langkah yang harus ditempuh : H = 120 meter. L = -6,175402778 derajat Tan(u) = -0,1074225197 radian R*sin(L’) = -0,1068585856 R*cos(L’) = 0,9942544525 Jarak pengamat ke pusat bumi adalah R = 0,9999803366 dengan satuan radius ekuator bumi = 6378,012 km.

Nilai R*sin(L’) dan R*cos(L’) sangat penting pada transformasi dari koordinat geosentrik (pengamat secara virtual di posisi pusat bumi) ke toposentrik (pengamat di permukaan bumi).[10]

C. Jarak Dua Tempat di Permukaan Bumi

Jarak antara dua tempat akan berguna, misalnya ketika kita ingin menentukan jarak antara suatu tempat dengan ka’bah.

Diketahui dua tempat/posisi di permukaan bumi. Tempat pertama memiliki koordinat geografis bujur B1 dan lintang L1. Tempat kedua B2 dan L2. Jarak antara kedua tempat tersebut dapat diketahui. Ada dua rumus yang akan diberikan disini.

Rumus pertama adalah rumus sederhana yang mengasumsikan bahwa bumi berbentuk bola [2]. Sudut antara kedua tempat tersebut adalah d, dimana cos(d) = sin(L1)*sin(L2) + cos(L1)*cos(L2)*cos(B1 - B2) Jika sudut d dalam radian, maka jarak kedua tempat adalah s kilometer, yaitu s = 6378,137*d [km] Jika sudut d dalam derajat, maka jarak kedua tempat adalah s kilometer, yaitu s = 6378,137*pi*d/180 [km] dimana pi = 3,14159265359. Perlu diingat, 1 radian = 180/pi = 57.2957795 derajat.

Rumus kedua adalah rumus yang lebih kompleks dengan asumsi bahwa bumi berbentuk elipsoida [2]. Rumus kedua ini akan memberikan hasil yang lebih tepat, yang disajikan sebagai berikut. U = (L1 + L2)/2. G = (L1 - L2)/2 J = (B1 - B2)/2 M = sin(G)*sin(G)*cos(J)*cos(J) + cos(U)*cos(U)*sin(J)*sin(J) N = cos(G)*cos(G)*cos(J)*cos(J) + sin(U)*sin(U)*sin(J)*sin(J) tan(w) = SQRT(M/N) dimana w dalam radian P = SQRT(M*N)/w D = 2*w*a E1 = (3*P - 1)/(2*N) E2 = (3*P + 1)/(2*M) Jarak antara kedua tempat adalah s = D*{1 + f*E1*sin(U)*sin(U)*cos(G)*cos(G) - f*E2* cos(U)*cos(U)* sin(G)*sin(G)} dimana a = 6378,137 km dan f = 1/298,25722 = 0,0033528107.

Suatu contoh: Tentukan jarak antara Ka’bah dengan Masjid Istiqlal dengan koordinat 106:49:50,64 BT dan lintang 6:10:11,2 LS.

Langkah yang harus dilakukan : B1 = 39,82616111 derajat L1 = 21,42250833 derajat B2 = 106,8307333 derajat L2 = -6,169777778 derajat.

Jika kita gunakan rumus pertama, maka cos(d) = sin(L1)*sin(L2) + cos(L1)*cos(L2)*cos(B1 - B2) cos(d) = 0,32230721 d = arccos(0,32230721) = 1,242630573 radian Jarak antara Ka’bah dengan Istiqlal adalah s = 6378,137*1,242630573 = 7925,668 km.

Jika kita gunakan rumus kedua, maka diperoleh hasil sebagai berikut. U = 0.133105184 radian G = 0.24078812 radian J = -0.5847252 radian M = 0.338846395 N = 0.661153605 tan(w) = 0.715896517 w = 0.621315286 radian P = 0.761799321 D = 7925.668033 km E1 = 0.972087237 E2 = 4.847916358 Jarak antara Ka’bah dengan Masjid Istiqlal adalah s = 7918.900 km = 7918 km 900 meter.

Sebagai catatan, kedua rumus di atas digunakan untuk dua tempat yang terletak di permukaan bumi (ketinggian = 0 dari permukaan laut). Tentu saja dalam realitanya, Ka’bah dan Masjid Istiqlal memiliki ketinggian tertentu dari permukaan laut.

Sebagai pembanding untuk kedua rumus di atas, Vincenty telah menurunkan rumus untuk menentukan jarak antara dua titik. Untuk soal jarak Ka’bah - Masjid Istiqlal, rumus Vincenty memberikan hasil 7918 km 930 meter. Nampak bahwa rumus kedua memberikan hasil lebih dekat dengan rumus Vincenty dengan selisih hanya 30 meter. Namun demikian, rumus pertama jauh lebih simpel.[11]

Jarak terpisah antara Ka’bah dan Indonesia berkisar pada orde 6000-an (Aceh) hingga 11.000-an (Papua) km. Jauhnya jarak ini bermakna bahwa jika arah kiblat kita melenceng 1 derajat saja dari arah yang benar, maka penyimpangannya sangat besar dari Ka’bah itu sendiri. Jika jarak yang terpisah adalah 8000 km, maka penyimpangan arah kiblat 1 derajat memberikan penyimpangan posisi kiblat dari Ka’bah sebesar 8000*1*pi/180 atau sekitar 140 km dari Ka’bah. Ini menunjukkan betapi pentingnya tempat shalat kita menunjuk pada arah kiblat yang benar.

Kesimpulan

Setiap tempat di permukaan bumi dapat ditentukan dengan dua koordinat, yaitu bujur B (longitude) dan lintang L (latitude). Satuan koordinatnya adalah derajat. Satu derajat = 60 menit busur (arcminute) = 3600 detik busur (arcsecond). Seringkali menit busur dan detik busur cukup disebut menit dan detik saja.

Penutup

Demikian pemaparan makalah kami, sebagai manusia biasa tentunya kami tidaklah luput dari banyaknya kesalahan baik dalam penulisan ataupun penyampaian makalah, maka kami sangat mengharapkan kritik dan syaran dari para pembaca. Akhir kata semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua. Amin.

Daftar Bacaan

Dusenbery, David B. (2009). Living at Micro Scale, Harvard University Press, Cambridge, Mass.

Henderson, Tom, Distance and Displacement, The Physics Classroom, edisi ke II, 1990.

Meeus , Jean: Astronomical Algorithm, Willmann-Bell, Virginia, 1991.

Montenbruck , Oliver: Practical Ephemeris Calculations, Springer-Verlag, 1999.

http//www. Wikipedia, the free encyclopedia.com.

http://www.icsm.gov.au/gda/gdatm/index.html. Retrieved 2009-07-11.

http://www.eramuslim.com/syariah/ilmu-hisab/jarak-di-permukaan-bumi.htm

http://www.ngs.noaa.gov/PUBS_LIB/inverse.pdf. Retrieved 2009-07-11.

---

[1] Tom Henderson, Distance and Displacement, The Physics Classroom, edisi ke II, 1990. Hal 129

[2] Catatan: ada sejumlah literatur yang menulis sebaliknya, bujur barat bernilai positif, seperti Astronomical Algorithm karya Jean Meeus. Contoh: 120 BT (Bujur Timur) = 120 E (East) = 120 derajat. Sedangkan 135 BB (Bujur Barat) = 135 W (West) = -135 derajat.

[3] Kota Pontianak di Kalimantan Barat dilewati oleh ekuator.

[4]http//www. Wikipedia, the free encyclopedia.com

[5] Dusenbery, David B. (2009). Living at Micro Scale, Harvard University Press, Cambridge, Mass. ISBN 978-0-674-03116-6.

[6] http://www.icsm.gov.au/gda/gdatm/index.html. Retrieved 2009-07-11.

[7] Jean Meeus: Astronomical Algorithm, Willmann-Bell, Virginia, 1991.

[8] Oliver Montenbruck: Practical Ephemeris Calculations, Springer-Verlag, 1999.

[9] (Lambang * = perkalian. SQRT = akar pangkat dua. Sin = sinus. Cos = cosinus. Tan = tangen)

[10] http://www.eramuslim.com/syariah/ilmu-hisab/jarak-di-permukaan-bumi.htm

[11] http://www.ngs.noaa.gov/PUBS_LIB/inverse.pdf. Retrieved 2009-07-11.